在数学中，配方法是一种非常重要的技巧，尤其是在处理二次函数时。通过配方法，我们可以将一个复杂的二次表达式转化为标准形式，从而轻松地找到其最大值或最小值。下面，我们通过具体的例题来详细说明这一过程。
例题1：求函数 \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) 的最大值或最小值
解题步骤：
1. 观察函数的形式
函数 \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) 是一个标准的二次函数，其一般形式为 \(ax^2 + bx + c\)。由于 \(a > 0\)（即 \(a = 1\)），这个抛物线开口向上，因此该函数有最小值。
2. 配方
配方法的核心是将二次项和一次项组合成完全平方的形式。对于 \(x^2 - 6x\)，我们可以通过添加和减去 \((\frac{b}{2})^2\) 来完成配方：
\[
x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9
\]
因此，原函数可以改写为：
\[
f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4
\]
3. 确定最值
从配方后的结果可以看出，\(f(x) = (x - 3)^2 - 4\) 的最小值出现在 \((x - 3)^2 = 0\) 时，即 \(x = 3\)。此时，函数值为：
\[
f(3) = (3 - 3)^2 - 4 = -4
\]
因此，函数 \(f(x)\) 的最小值为 \(-4\)。
例题2：求函数 \(g(x) = -2x^2 + 8x - 3\) 的最大值或最小值
解题步骤：
1. 观察函数的形式
函数 \(g(x) = -2x^2 + 8x - 3\) 同样是一个二次函数，但这里 \(a < 0\)（即 \(a = -2\)），所以抛物线开口向下，函数有最大值。
2. 配方
对于 \(g(x) = -2x^2 + 8x - 3\)，首先提取二次项系数 \(-2\)：
\[
g(x) = -2(x^2 - 4x) - 3
\]
接下来对括号内的部分进行配方：
\[
x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4
\]
将其代入原函数：
\[
g(x) = -2[(x - 2)^2 - 4] - 3 = -2(x - 2)^2 + 8 - 3 = -2(x - 2)^2 + 5
\]
3. 确定最值
从配方后的结果可以看出，\(g(x) = -2(x - 2)^2 + 5\) 的最大值出现在 \((x - 2)^2 = 0\) 时，即 \(x = 2\)。此时，函数值为：
\[
g(2) = -2(2 - 2)^2 + 5 = 5
\]
因此，函数 \(g(x)\) 的最大值为 \(5\)。
总结
通过上述两个例题可以看出，配方法是解决二次函数最值问题的有效工具。无论抛物线开口向上还是向下，都可以利用配方法将其转化为标准形式，进而快速找到最大值或最小值。这种方法不仅逻辑清晰，而且计算简便，值得同学们在学习过程中熟练掌握。
希望以上例题能帮助大家更好地理解配方法的应用！
