【空间向量夹角公式】在三维几何中，空间向量的夹角是描述两个向量之间方向关系的重要概念。通过向量的点积（内积）可以计算出两个向量之间的夹角，这是解析几何和线性代数中的基础内容之一。以下是对“空间向量夹角公式”的总结与归纳。

一、基本概念

- 空间向量：在三维空间中，一个向量可以用坐标形式表示为 $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $。

- 夹角：两个向量之间的夹角是指从一个向量到另一个向量所形成的最小角度，范围在 $ 0^\circ $ 到 $ 180^\circ $ 之间。

- 点积：两个向量的点积公式为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

二、空间向量夹角公式

设两个非零向量 $ \vec{a} $ 和 $ \vec{b} $，它们的夹角为 $ \theta $，则有：

$$

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}

$$

其中：

- $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ 是两向量的点积；

- $ \vec{a} $ 和 $ \vec{b} $ 分别是向量 $ \vec{a} $ 和 $ \vec{b} $ 的模长，即：

$$

$$

三、计算步骤

四、应用示例

假设 $ \vec{a} = (1, 2, 3) $，$ \vec{b} = (4, 5, 6) $

1. 点积：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 = 4 + 10 + 18 = 32

$$

2. 模长：

$$

\vec{a} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \\

\vec{b} = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77}

$$

3. 余弦值：

$$

\cos\theta = \frac{32}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{77}} = \frac{32}{\sqrt{1078}}

$$

4. 夹角：

$$

\theta = \arccos\left( \frac{32}{\sqrt{1078}} \right)

$$

五、总结表格

通过以上内容，我们可以清晰地了解空间向量夹角的计算方法及其应用场景，为后续学习和实际问题解决提供理论支持。