【等差和等比数列的求和公式】在数学中，数列是一种按照一定规律排列的一组数。常见的数列包括等差数列和等比数列。它们各自具有不同的性质，并且都有对应的求和公式。掌握这些公式有助于我们快速计算数列的前n项和。
一、等差数列
定义：
如果一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列。这个常数称为公差，记作d。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
其中，$a_1$ 是首项，$n$ 是项数，$d$ 是公差。
前n项和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
或者
$$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
二、等比数列
定义：
如果一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列。这个常数称为公比，记作r。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
其中，$a_1$ 是首项，$n$ 是项数，$r$ 是公比。
前n项和公式：
当 $r \neq 1$ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
或
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
当 $r = 1$ 时，所有项都相等，因此
$$ S_n = n \cdot a_1 $$
三、总结对比表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数 | 每一项与前一项的比为常数 |
| 公差（d） | $ d = a_{n+1} - a_n $ | 无（用公比表示） |
| 公比（r） | 无 | $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 当 $ r \neq 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $；当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = n \cdot a_1 $ |
通过以上内容可以看出，等差数列和等比数列虽然结构不同，但它们的求和公式各有特点，适用于不同的应用场景。理解并熟练掌握这些公式，有助于我们在实际问题中更高效地进行计算与分析。
