【高数极限公式】在高等数学中，极限是研究函数变化趋势的基础工具，广泛应用于微积分、导数、积分以及级数等领域。掌握常见的极限公式对于理解数学分析具有重要意义。以下是对一些常见高数极限公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本极限公式
1. 常数极限
若 $ C $ 是常数，则
$$
\lim_{x \to a} C = C
$$
2. 多项式极限
对于多项式函数 $ f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0 $，则
$$
\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
$$
3. 分式极限（有理函数）
若 $ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $，其中 $ P(x), Q(x) $ 是多项式，且 $ Q(a) \neq 0 $，则
$$
\lim_{x \to a} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(a)}{Q(a)}
$$
4. 无穷小与无穷大
- 若 $ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $，则称 $ f(x) $ 是 $ x \to a $ 时的无穷小；
- 若 $ \lim_{x \to a} f(x) = \infty $，则称 $ f(x) $ 是 $ x \to a $ 时的无穷大。
二、重要极限公式
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 1 | $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ | 常用于三角函数极限计算 |
| 2 | $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $ | 指数函数的极限 |
| 3 | $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 $ | 对数函数的极限 |
| 4 | $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $ | 三角函数的常用极限 |
| 5 | $ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a $（$ a > 0, a \neq 1 $） | 指数函数的一般形式 |
| 6 | $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $ | 数学中的重要常数 $ e $ 的定义 |
| 7 | $ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e $ | 与上式等价的形式 |
三、极限运算法则
1. 四则运算法则
若 $ \lim_{x \to a} f(x) = L $，$ \lim_{x \to a} g(x) = M $，则：
- $ \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M $
- $ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M $
- $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} $（若 $ M \neq 0 $）
2. 复合函数极限
若 $ \lim_{x \to a} g(x) = b $，且 $ \lim_{y \to b} f(y) = L $，则
$$
\lim_{x \to a} f(g(x)) = L
$$
3. 夹逼定理
若 $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $，且 $ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L $，则
$$
\lim_{x \to a} g(x) = L
$$
四、极限的应用
极限不仅用于求函数值的变化趋势，还广泛应用于：
- 求导数：导数的定义即为极限；
- 求不定积分和定积分；
- 判断级数的收敛性；
- 分析函数的连续性和可导性。
总结
高数中的极限公式是学习微积分的重要基础，掌握这些公式有助于更深入地理解数学分析的核心思想。通过合理使用极限运算法则和常见公式，可以高效解决许多数学问题。
| 极限类型 | 公式示例 | 应用场景 |
| 基本极限 | $ \lim_{x \to a} C = C $ | 函数值直接代入 |
| 三角函数 | $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ | 三角函数极限计算 |
| 指数函数 | $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $ | 指数函数展开 |
| 复合函数 | $ \lim_{x \to a} f(g(x)) = L $ | 复合函数的极限 |
| 夹逼定理 | $ f(x) \leq g(x) \leq h(x) $ | 证明极限存在 |
通过不断练习和应用这些公式，可以更好地掌握高等数学中的极限理论。
