【分部积分怎么算】在微积分中，分部积分法是一种重要的求积分方法，尤其适用于被积函数为两个函数乘积的情况。分部积分法的原理来源于乘积法则的逆运算，其公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
使用分部积分的关键在于合理选择“u”和“dv”，使得计算更为简便。以下是对分部积分法的总结与常见应用场景。
一、分部积分法的基本步骤
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 选择u和dv | 根据被积函数的结构，选择合适的u和dv，通常让u易于求导，dv易于积分 |
| 2 | 对u求导得到du | 即计算 $ du = u' dx $ |
| 3 | 对dv积分得到v | 即计算 $ v = \int dv $ |
| 4 | 代入公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ | 进行计算 |
| 5 | 简化结果 | 若新积分仍复杂，可继续使用分部积分或其他方法 |
二、常见应用类型及示例
| 类型 | 被积函数形式 | 示例 | 解题思路 |
| 1 | 多项式 × 指数函数 | $ \int x e^x dx $ | 令 $ u = x $, $ dv = e^x dx $ |
| 2 | 多项式 × 三角函数 | $ \int x \sin x dx $ | 令 $ u = x $, $ dv = \sin x dx $ |
| 3 | 对数函数 × 多项式 | $ \int \ln x \, dx $ | 令 $ u = \ln x $, $ dv = dx $ |
| 4 | 指数函数 × 三角函数 | $ \int e^x \sin x dx $ | 可能需要两次分部积分后联立方程求解 |
| 5 | 反三角函数 × 多项式 | $ \int \arctan x \, dx $ | 令 $ u = \arctan x $, $ dv = dx $ |
三、分部积分法的注意事项
- 选择u的原则：一般选择容易求导的函数作为u，如多项式、对数函数等。
- 选择dv的原则：应选择容易积分的函数，如指数函数、三角函数等。
- 反复使用：若一次分部后积分仍复杂，可再次使用分部积分。
- 避免循环：有时会出现重复的积分形式，需通过代数方法解决。
四、总结
分部积分法是处理乘积形式积分的重要工具，掌握好u和dv的选择是关键。通过练习不同类型的题目，可以逐步提高对分部积分法的熟练度和应用能力。
| 关键点 | 内容 |
| 公式 | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 适用场景 | 乘积形式积分、高阶函数 |
| 选择技巧 | u易导，dv易积 |
| 常见组合 | 多项式×指数、多项式×三角、对数×多项式等 |
通过以上总结与表格，可以更清晰地理解分部积分法的使用方式和实际应用。
