【垂直向量的公式】在向量几何中，两个向量如果互相垂直，它们的点积（内积）为零。这是判断两个向量是否垂直的重要依据。本文将总结与垂直向量相关的公式，并通过表格形式进行清晰展示。
一、基本概念
- 向量：具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
- 垂直向量：两个向量相交成90度角，称为互相垂直。
- 点积（内积）：两个向量之间的一种乘法运算，结果是一个标量。
二、垂直向量的判定公式
设向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂) 是二维空间中的向量；
向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃) 是三维空间中的向量。
1. 二维空间中垂直向量的条件：
若向量 a 与 b 垂直，则满足以下关系：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 = 0
$$
2. 三维空间中垂直向量的条件：
若向量 a 与 b 垂直，则满足以下关系：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0
$$
三、垂直向量的构造方法
除了通过点积判断外，还可以根据已知向量构造其垂直向量。
1. 二维空间中构造垂直向量：
给定向量 a = (a₁, a₂)，其垂直向量可以是：
- (-a₂, a₁)
- (a₂, -a₁)
这两个向量分别与原向量垂直。
2. 三维空间中构造垂直向量：
给定向量 a = (a₁, a₂, a₃)，可以通过叉积（向量积）构造一个与 a 垂直的向量。例如，若已知另一个非平行向量 b，则：
$$
\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}
$$
向量 c 就是同时垂直于 a 和 b 的向量。
四、总结表格
| 向量类型 | 判定条件 | 构造方法 |
| 二维向量 | $ a_1b_1 + a_2b_2 = 0 $ | $ (-a_2, a_1) $ 或 $ (a_2, -a_1) $ |
| 三维向量 | $ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0 $ | $ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $（叉积） |
五、应用示例
假设向量 a = (3, 4)，那么它的垂直向量可以是 (-4, 3) 或 (4, -3)。验证如下：
- 点积：$ 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0 $
- 满足垂直条件。
六、小结
垂直向量是向量几何中的重要概念，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。掌握其判定公式和构造方法，有助于更深入地理解向量之间的关系。通过点积或叉积，可以快速判断或构造垂直向量，提升解题效率。
